Search found 738 matches

by Admin
13 Aug 2021, 18:10
Forum: Teorie și Probleme
Topic: Inegalităţi algebrice
Replies: 7
Views: 5489

Inegalităţi algebrice

Dacă $a, b \in \mathbb{R}_+$ astfel încât $a+b+ab = 3$ atunci $a + b \geqslant \sqrt{a} + \sqrt {b}$ (Olimpiada locală București, 2007 - Clasa a 8-a) Folosindu-ne de inegalitatea dintre media aritmetică și media pătratică avem: $\sqrt{a} + \sqrt {b} \leqslant 2 \sqrt{\dfrac{a+b}{2}}$ Deci e suficien...
by Admin
26 Jul 2021, 23:44
Forum: Școala Online
Topic: Exerciții diverse
Replies: 18
Views: 9375

Exerciții diverse

Image


Care este măsura unghiului format de acele ceasornicului când acesta indică ora 2 și 20 de minute?

$2 \cdot \dfrac{180}{6} - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{180}{6} = 60 - 10 = 50 ~~$ de grade.
by Admin
28 Jun 2021, 17:05
Forum: Școala Online
Topic: Exerciții diverse
Replies: 18
Views: 9375

Exerciții diverse

Let $k>0~$ be fixed. Find $$\min\left(\sqrt{ka+1}+\sqrt{kb+1}+\sqrt{kc+1}\right)$$ over all $c, b, a\geq0~\text{satisfying}~ab+bc+ac=a+b+c>0~.$ ================== In case we have 2 positive numbers $a+b=ab$ results that $a, b > 1$ and $a= \dfrac{b}{b-1}$, so the minimum of the expression $ab$ is 4 b...
by Admin
27 Jun 2021, 23:19
Forum: Școala Online
Topic: Exerciții diverse
Replies: 18
Views: 9375

Exerciții diverse

Let $x$ be a rational number. Then the following numbers $\sqrt{x+1}, \sqrt{x+2}, \sqrt{x+3}$ cannot be simultaneously rational. Consider: $x+1 = \dfrac{m^2}{n^2}$ $x+2 = \dfrac{m^2 + n^2}{n^2}$ $x+3 = \dfrac{m^2 + 2n^2}{n^2}$ The numerators must be perfect squares, so: $m^2 = m^2$ $m^2 + n^2 = k^2$...
by Admin
27 Jun 2021, 21:38
Forum: Școala Online
Topic: Exerciții diverse
Replies: 18
Views: 9375

Exerciții diverse

Fie $x$ un număr rațional. Atunci numerele $\sqrt{x+1}, \sqrt{x+2}, \sqrt{x+3}$ nu pot fi simultan numere raționale. Considerăm: $x+1 = \dfrac{m^2}{n^2}$ $x+2 = \dfrac{m^2 + n^2}{n^2}$ $x+3 = \dfrac{m^2 + 2n^2}{n^2}$ Numărătorii trebuie să fie pătrate perfecte deci: $m^2 = m^2$ $m^2 + n^2 = k^2$ $m^...
by Admin
20 Jun 2021, 20:48
Forum: Teorie și Probleme
Topic: Inegalităţi algebrice
Replies: 7
Views: 5489

Inegalităţi algebrice

Fie $x, y > 0$. Să se arate că: $\sqrt{xy} - \dfrac{2}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \leqslant \dfrac{x+y}{2} - \sqrt{xy}$ $~~~~~~~~~~$ (demonstrație simplă) Inegalitatea $MG - MH \leqslant MA - MG$ are loc la cazul general ? ============== Una din soluțiile la cazul 2 este și următoarea: $MG = \sqrt...
by Admin
20 Jun 2021, 17:21
Forum: Teorie și Probleme
Topic: Identități algebrice
Replies: 0
Views: 308

Identități algebrice

Fie $x, y, z$ numere reale nenule.

Dacă $(x+y+z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) = 1$ atunci avem:

$(x+y)(x+z)(y+z) = 0$
by Admin
22 May 2021, 13:10
Forum: Teorie și Probleme
Topic: Inegalități geometrice
Replies: 0
Views: 378

Inegalități geometrice

Inegalitatea lui Seitel . Să se arate că în orice triunghi avem: $h_a + h_b + h_c \geqslant 9r$ Demonstrație : Se știe că $h_a = \dfrac{2S}{a}$ sau $h_a = 2Sf(a)$ unde $f(x) = \dfrac{1}{x}$ pentru $x \in (0,p)$. Evident $f''(x) > 0$ deci funcția este convexă. Aplicăm inegalitatea lui Jensen și avem...
by Admin
10 Nov 2020, 12:52
Forum: Teorie și Probleme
Topic: Formule de calcul prescurtat
Replies: 13
Views: 8582

Formule de calcul prescurtat

$x^2 -4xy + 4y^2 - 9$

Go to advanced search

mateinfo
UP
cron