Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația: $\Big\{\dfrac{5x+17}{3x+3}\Big\} = 0,(6)$ Avem, prin definiție: $\{a \} = a - [a]$ de unde rezultă: $[a] = a - \{a\}$ În plus, $0,(6) = \dfrac{2}{3}$ , deci vom avea: $\Big[\dfrac{5x+17}{3x+3}\Big] = \dfrac{5x+17}{3x+3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{x+5}{x+...
Problemă . Să se determine numerele naturale nenule $n$ pentru care: $1! + 2! + ... + n!$ este pătrat perfect. Rezolvare Pentru $n \geqslant 5$ avem faptul că $5!$, $6!$, ... , $n!$ se termină în $0$. Și cum $1! + 2! + 3! + 4! = 33$ deci se termină în $3$, și nu există pătrate perfecte ce se termin...
Problemă . Se dă un pătrat cu latura de lungime $1$. Să se arate că oricum am alege $5$ puncte interioare lui există cel puțin $2$ astfel încât distanța dintre ele să fie mai mică decât $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Rezolvare - Principiul lui Dirichlet ( principiul cutiei ) și împărțirea în $4$ pătrate id...
Dacă $a+b = 1$ atunci $a^4 + b^4 \geqslant \dfrac{1}{8}$. Rezolvare : Presupunem că $a, b \geqslant 0$, altfel unul din numere e supraunitar deci inegalitatea este evidentă. Vom folosi de 2 ori inegalitatea dintre media pătratică și cea aritmetică. Avem: $\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}} \geqslant \dfrac{x...
https://i.imgur.com/gYb1k5E.png Demonstrație prin inducție după $n$. După mai multe încercări am reușit să demonstrez prin inducție 2 lucruri: - Există $p$ cu proprietatea cerută ($m$ și $n$ fiind date) - Valoarea $m(m-1)p(p-1)$ este pătrat perfect. Cazul $n=0$: $(\sqrt{m} + \sqrt{m-1})^0 = 1 = \sq...
Problema a fost dată la Olimpiada Națională de Matematică, 1980, la clasa a 10-a. În postarea următoare voi încerca să dau o demonstrație prin inducție.
a) Raportul dintre suma catetelor și ipotenuză într-un triunghi dreptunchic isoscel este $\sqrt{2}$. b) Dacă într-un triunghi dreptunghic raportul dintre suma catetelor și ipotenuză este $\sqrt{2}$ atunci triunghiul este și isoscel. Rezolvare . a) Presupunem catetele de lungimi $b=c$ și ipotenuza de...