Search found 746 matches

by Admin
02 Jan 2022, 19:54
Forum: Teorie și Probleme
Topic: Inegalităţi clasice
Replies: 9
Views: 6406

Inegalităţi clasice

Image
by Admin
31 Dec 2021, 16:41
Forum: Teorie și Probleme
Topic: Inegalităţi algebrice
Replies: 8
Views: 5956

Inegalităţi algebrice

Să se arate că pentru $x \in [0,3]$ avem: $\sqrt{18+3x-x^2} + \sqrt{9-x^2} + \sqrt{9-6x+x^2} + \sqrt{9x-3x^2} \leqslant 12$ ( OLM clasa a 8-a, Județul Harghita - 2007 ) Rezolvare : Descompunem în factori și aplicăm inegalitatea mediilor $\sqrt{ab} \leqslant \dfrac{a+b}{2}$. $\sqrt{(6-x)(x+3)} \leqsl...
by Admin
29 Dec 2021, 21:40
Forum: Teorie și Probleme
Topic: Probleme de divizibilitate
Replies: 1
Views: 2017

Probleme de divizibilitate

Dacă $n$ este un număr natural și $n+1 ~ \vdots ~ 24$ atunci suma divizorilor lui $n$ se divide cu 24. Rezolvare Evident $n = M24-1$ deci nu e pătrat perfect, fiindcă $n \equiv -1$ (mod 3). Orice divizor $d$ al lui $n$ este de una din formele: $M12 \pm 1$ sau $M12 \pm 5$ Deci $d^2 \equiv 1$ (mod 24)...
by Admin
29 Dec 2021, 19:43
Forum: Teorie și Probleme
Topic: Elemente de Combinatorică
Replies: 4
Views: 2680

Elemente de Combinatorică

Numerele întregi se colorează în $n$ culori astfel încât dacă $x, y \in \mathbb{Z}$ și $|x-y| \in \{ 2,3,5 \}$ , atunci $x$ și $y$ au culori diferite. Să se arate că $n \geqslant 4$. ( Baraj OIM 2002 - Ioan Tomescu ) Rezolvare Presupunem prin absurd $n \leqslant 3$ și fie numerele $0,2,3,5$. $|0-2|,...
by Admin
28 Dec 2021, 19:44
Forum: Teorie și Probleme
Topic: Pătrate perfecte
Replies: 0
Views: 91

Pătrate perfecte

Să se arate că numărul $N$ este pătrat perfect, $N = 11...122...25$, unde 1 se repetă de $n$ ori iar 2 se repetă de $n+1$ ori. ( O.B.J., 1998 - Acolo era n=1997) Soluție : $N = 5 + 2(10 + 10^2 +...+ 10^{n+1}) + (10^{n+2} +...+10^{2n+1}) = $ $= 5 + 20 \dfrac{10^{n+1}-1}{9} + 10^{n+2} \dfrac{10^n - 1}...
by Admin
27 Dec 2021, 22:04
Forum: Școala Online
Topic: Exerciții diverse
Replies: 21
Views: 10528

Exerciții diverse

(Ultima parte a problemei 3 de la concursul Dan Barbilian, clasa a 12-a, oct. 2004) Fie $M = \{E(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz ~ | ~ x,y,z \in \mathbb{Z} \}$ Să se arate că $M = \mathbb{Z} - \{ k \in \mathbb{Z} ~ | ~ $ $k$ divizibil cu $3$ dar nu cu $9$ $\}$ ====================== Acum vreo 10 ani...
by Admin
27 Dec 2021, 18:59
Forum: Școala Online
Topic: Exerciții diverse
Replies: 21
Views: 10528

Exerciții diverse

Image


Image
by Admin
19 Dec 2021, 23:18
Forum: Școala Online
Topic: Exerciții diverse
Replies: 21
Views: 10528

Exerciții diverse

Fie $a, b$ numere naturale. Dacă $\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{a}}{\sqrt{3} + \sqrt{b}}$ este rațional, să se afle $a$ și $b$. Răspunsul din carte este $a=3$ și $b=2$. (Atât) («Exerciții și probleme pentru liceu» - N. Nediță et al (2002) - La clasa a 9-a) Am găsit o rezolvare "parțială" dar car...
by Admin
13 Aug 2021, 18:10
Forum: Teorie și Probleme
Topic: Inegalităţi algebrice
Replies: 8
Views: 5956

Inegalităţi algebrice

Dacă $a, b \in \mathbb{R}_+$ astfel încât $a+b+ab = 3$ atunci $a + b \geqslant \sqrt{a} + \sqrt {b}$ (Olimpiada locală București, 2007 - Clasa a 8-a) Folosindu-ne de inegalitatea dintre media aritmetică și media pătratică avem: $\sqrt{a} + \sqrt {b} \leqslant 2 \sqrt{\dfrac{a+b}{2}}$ Deci e suficien...
by Admin
26 Jul 2021, 23:44
Forum: Școala Online
Topic: Exerciții diverse
Replies: 21
Views: 10528

Exerciții diverse

Image


Care este măsura unghiului format de acele ceasornicului când acesta indică ora 2 și 20 de minute?

$2 \cdot \dfrac{180}{6} - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{180}{6} = 60 - 10 = 50 ~~$ de grade.

Go to advanced search

mateinfo
UP
cron