Fie $a, b$ numere naturale. Dacă $\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{a}}{\sqrt{3} + \sqrt{b}}$ este rațional, să se afle $a$ și $b$. Răspunsul din carte este $a=3$ și $b=2$. (Atât) («Exerciții și probleme pentru liceu» - N. Nediță et al (2002) - La clasa a 9-a) Am găsit o rezolvare "parțială" dar car...

Dacă $a, b \in \mathbb{R}_+$ astfel încât $a+b+ab = 3$ atunci $a + b \geqslant \sqrt{a} + \sqrt {b}$ (Olimpiada locală București, 2007 - Clasa a 8-a) Folosindu-ne de inegalitatea dintre media aritmetică și media pătratică avem: $\sqrt{a} + \sqrt {b} \leqslant 2 \sqrt{\dfrac{a+b}{2}}$ Deci e suficien...

Care este măsura unghiului format de acele ceasornicului când acesta indică ora 2 și 20 de minute?

$2 \cdot \dfrac{180}{6} - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{180}{6} = 60 - 10 = 50 ~~$ de grade.

Let $k>0~$ be fixed. Find $$\min\left(\sqrt{ka+1}+\sqrt{kb+1}+\sqrt{kc+1}\right)$$ over all $c, b, a\geq0~\text{satisfying}~ab+bc+ac=a+b+c>0~.$ ================== In case we have 2 positive numbers $a+b=ab$ results that $a, b > 1$ and $a= \dfrac{b}{b-1}$, so the minimum of the expression $ab$ is 4 b...

Let $x$ be a rational number. Then the following numbers $\sqrt{x+1}, \sqrt{x+2}, \sqrt{x+3}$ cannot be simultaneously rational. Consider: $x+1 = \dfrac{m^2}{n^2}$ $x+2 = \dfrac{m^2 + n^2}{n^2}$ $x+3 = \dfrac{m^2 + 2n^2}{n^2}$ The numerators must be perfect squares, so: $m^2 = m^2$ $m^2 + n^2 = k^2$...

Fie $x$ un număr rațional. Atunci numerele $\sqrt{x+1}, \sqrt{x+2}, \sqrt{x+3}$ nu pot fi simultan numere raționale. Considerăm: $x+1 = \dfrac{m^2}{n^2}$ $x+2 = \dfrac{m^2 + n^2}{n^2}$ $x+3 = \dfrac{m^2 + 2n^2}{n^2}$ Numărătorii trebuie să fie pătrate perfecte deci: $m^2 = m^2$ $m^2 + n^2 = k^2$ $m^...

Fie $x, y > 0$. Să se arate că: $\sqrt{xy} - \dfrac{2}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \leqslant \dfrac{x+y}{2} - \sqrt{xy}$ $~~~~~~~~~~$ (demonstrație simplă) Inegalitatea $MG - MH \leqslant MA - MG$ are loc la cazul general ? ============== Una din soluțiile la cazul 2 este și următoarea: $MG = \sqrt...

Fie $x, y, z$ numere reale nenule. Dacă $(x+y+z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) = 1$ atunci avem: $(x+y)(x+z)(y+z) = 0$ Rezolvare $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x+y+z} \Rightarrow \dfrac{xy+xz+yz}{xyz} = \dfrac{1}{x+y+z} \Rightarrow$ $\Rightarrow (x+y+z)(xy+xz+y...