Să se arate că centrele acestora formează un triunghi echilateral.
Asta e o problemă foarte cunoscută ..
Indicațiile date de George Polya în cartea lui celebră "Descoperirea în Matematică" (pag. 210) merge către rezolvarea trigonometrică (G.P. nu dă o rezolvare).
Am dat o soluție rapidă trigonometrică, simplă dar cu multe calcule (mai bine de 1 pagină) - folosindu-mă de teorema cosinusului și teorema sinusurilor (și apoi de multe calcule) ...
Știam de o problemă legată de asta: anume să se arate că AA1 = BB1 = CC1 (vezi și cartea de Transformări geometrice, de Smaranda/Soare - o carte foarte bună de transformări geometrice ... Pb. 21, pag 66)
Se observă că la o rotație de 60o (în sensul acelor de ceasornic) a triunghiului ACA1, în jurul lui C, se obține triunghiul B1CB ... Deci AA1 = BB1 .. și prin analogie vor fi egale și cu CC1 (sau altfel spus triunghiurile ACA1 și B1CB sunt congruente, și rezultă de aici tripla egalitate de segmente ... Eu o să folosesc demonstrația cu rotația, pentru că folosesc și la altceva ...)
Notez cu G, G1, G2 şi G3 centrele de greutate ale triunghiurilor din figură.
Medianele se taie la 2 treimi de vârf și o treime de latură, deci cu Thales și apoi asemănarea triunghiurilor avem că GG1 || AA1 şi în plus GG1 = 1/3 AA1. Cum AA1 = BB1 = CC1 rezulta cu GG1 = GG2 = GG3.
Deci G este chiar centrul cercului circumscris triunghiului G1G2G3 (și mai trebuie doar să arăt doar că în jurul lui G sunt 3 unghiuri de 120o - unghiurile formate de segmentele trasate cu roșu ...)
Cum segmentele AA1, BB1, CC1 se obțin unul din altul prin rotații de 60o (deci formează un unghi ascuțit de 60o și unul obtuz de 120o) înseamnă că același lucru e valabil și cu GG1, GG2 și GG3 (care sunt paralele cu AA1, BB1 și CC1).
Uitându-ne în triunghiul G1G2G3 nu puteam avea de exemplu ca unghiul G1GG2 să aibă 60o, fiindcă ar însemna că celelalte 2 unghiuri adică G2GG3 și G3GG1 să facă împreună restul de 300o, ori ele au fie 60o fie 120o .. deci imposibil ... Deci obligatoriu toate aceste 3 unghiuri au 120o , deci triunghiul G1G2G3 e echilateral ...
|