[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

Elemente de Matematică și Informatică. Teorie, Probleme. Discuții.
Gaby
Junior Member
Posts: 5
Joined: 01 Nov 2012, 16:41

[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

Postby Gaby » 06 Nov 2012, 20:05

Aratati ca $x^2 + x + 1 > 0$ oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$ :)



User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

Postby Admin » 06 Nov 2012, 20:44

  Gaby » 06 Nov 2012, 20:05   wrote:Aratati ca $x^2 + x + 1 > 0$ oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$ :)



$x^2 + x + 1 = x^2 + x + (\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}) = x^2 + 2\dfrac{1}{2}x + (\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4} = (x+\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$

Deci am obţinut suma dintre un număr mai mare sau egal decât $0$ (adică $(x+\dfrac{1}{2})^2$ ) şi $\dfrac{3}{4}$ care e strict mai mare decât $0$.
Rezultatul este evident ceva STRICT mai mare decât $0$.

Şi se observă când se obţine şi minimul expresiei $x^2 + x + 1$ pentru $x$ real ...
Anume atunci când $(x+\dfrac{1}{2})^2$ este chiar $0$, deci când $x=-\dfrac{1}{2}$ , iar valoarea expresiei este atunci $\dfrac{3}{4}$

:-bd

Alina Aly
Junior Member
Posts: 1
Joined: 30 Oct 2012, 18:59

[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

Postby Alina Aly » 07 Nov 2012, 09:15

Ajutati-ma si pe mine la un exercitiu:
Aratati ca daca a,b,c,d sunt numere naturale consecutive,atunci abcd+1 este patrat perfect

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

Postby Admin » 07 Nov 2012, 10:26

  Alina Aly » 07 Nov 2012, 09:15   wrote:Ajutati-ma si pe mine la un exercitiu:
Aratati ca daca a,b,c,d sunt numere naturale consecutive,atunci abcd+1 este patrat perfect



Dacă cele 4 numere consecutive le notăm $a, a+1, a+2, a+3$ atunci :


$a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = a(a+3)(a+1)(a+2) + 1 = $

$= (a^2+3a)(a^2+3a+2) + 1$


Notăm pe $a^2+3a$ cu $k$ şi atunci expresia de mai sus devine :

$k(k+2) + 1 = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$ deci pătrat perfect B-)

QED :idea:

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

Postby Admin » 07 Nov 2012, 18:14

UPDATE : Imaginea de mai jos nu mai este de actualitate.
(sub)Forumurile se cheamă acum GIMNAZIU şi LICEU (deci 2 în loc de 8) .. şi este de preferat ca NUMELE Topicelor să fie prefixate cu numele claselor (pe cât posibil) aşa : [5] , [6] , [7] , [8] respectiv [9] , [10] , [11] , [12]




Am redenumit topicul în : Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora).

Şi deasemenea i-am schimbat locaţia aşa cum se observă în FOTO mai jos, fiindcă e un loc mai potrivit.
E adevărat că e vorba de exerciţii dar dintr-un anume manual.

Image


:-?? ... :-!

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

Postby Admin » 07 Nov 2012, 20:05

Pagina 154 - Problema III.1, a) şi b)

b)

Image


a) În ce priveşte demonstrarea perpendicularităţilor : $CD \perp MA$, $AB \perp MD$, $OP \perp (ABC)$ ,
se folosesc definiţiile, axiomele şi teoremele din manual precum şi una din proprietăţile liniei mijlocii într-un triunghi.



User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

Postby Admin » 08 Nov 2012, 01:32

  Admin » 07 Nov 2012, 10:26   wrote:
  Alina Aly » 07 Nov 2012, 09:15   wrote:Ajutati-ma si pe mine la un exercitiu:
Aratati ca daca a,b,c,d sunt numere naturale consecutive,atunci abcd+1 este patrat perfect



Dacă cele 4 numere consecutive le notăm $a, a+1, a+2, a+3$ atunci :


$a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = a(a+3)(a+1)(a+2) + 1 = $

$= (a^2+3a)(a^2+3a+2) + 1$


Notăm pe $a^2+3a$ cu $k$ şi atunci expresia de mai sus devine :

$k(k+2) + 1 = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$ deci pătrat perfect B-)

QED :idea:



Aceeaşi rezolvare de mai sus dar folosind butonul TEX pentru încadrarea formulelor matematice în loc de simbolul dollar.
[.. Detalii AICI, în această pagină - Click ! ..]


Dacă cele 4 numere consecutive le notăm atunci :







Notăm pe cu şi atunci expresia de mai sus devine :

deci pătrat perfect B-)

QED :idea:

=================================================================

PS.
- Prima variantă are la bază lucrul cu FONTURI şi deci are o aliniere mai bună a formulelor matematice faţă de textul ce le încadrează .. şi multe alte lucruri, motive pentru care recomand această metodă, deci cea cu simbolul dollar.

- În schimb, cea de-a doua metodă (cu formulele matematice încadrate de tag-urile TEX, deci folosind butonul TEX) se bazează pe IMAGINI (fiecare formulă generează o imagine, deci formulele sunt de fapt nişte imagini).

(Există situaţii, rare, în care e posibil să se prefere a 2-a metodă)

[.. Detalii AICI, în această pagină - Click ! ..]

Gaby
Junior Member
Posts: 5
Joined: 01 Nov 2012, 16:41

[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

Postby Gaby » 12 Jan 2013, 13:25

ABCD - patrat
{E} apartine de Interiorul (ABCD) astfel incat m(EAB)=m(EBA)=150grade
Sa se arate ca triunghiul ECD este echilateral

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

Postby Admin » 12 Jan 2013, 15:03

  Gaby » 12 Jan 2013, 13:25   wrote:ABCD - patrat
{E} apartine de Interiorul (ABCD) astfel incat m(EAB)=m(EBA)=150grade
Sa se arate ca triunghiul ECD este echilateral


:)

Gaby, pe 30 decembrie, am creat topicul Construcţii ingenioase în rezolvarea unor probleme (click pe Link).

Acolo, în a 2-a postare, este rezolvată şi problema asta.
(Cu soluţia foarte simplă ... Problema are şi alte soluţii, dar cu mult calcul)

:-h

Gaby
Junior Member
Posts: 5
Joined: 01 Nov 2012, 16:41

[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

Postby Gaby » 12 Jan 2013, 16:36

Va multumesc ! :) :-h


Return to “Teorie și Probleme”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 2 guests

mateinfo
UP
cron