Numere Complexe

[Admin]

Lemă

Fie $z \in \mathbb{C}$ astfel încât $|z|=1$.
Atunci cel puţin unul din numerele : $|i+z|$ şi $|i-z|$ este mai mare sau egal decât $1$.

Demonstraţie :

Presupunem prin absurd că ambele numere de mai sus sunt strict mai mici decât $1$. Avem :

$2 = |2i| = |(i+z)+(i-z)| \leqslant |(i+z)| + |(i-z)| < 1+1 = 2$ ceea ce înseamnă $2 < 2$ ,

adică o relaţie falsă.

Deci cel puţin unul din numerele : $|i+z|$ şi $|i-z|$ este mai mare sau egal decât $1$.

Consecinţă

Fie $z \in \mathbb{C}$ astfel încât $|z|=1$.
Folosind Lema de mai sus, avem $2$ cazuri :

i) Dacă $|i+z| \geqslant 1$ atunci $|1+z^2| = |(i+z)(i-z)| = |i+z| \cdot |i-z| \geqslant |i-z|$

ii) Dacă $|i-z| \geqslant 1$ atunci $|1+z^2| = |(i+z)(i-z)| = |i+z| \cdot |i-z| \geqslant |i+z|$

[Admin]

Problemă

Fie $z \in \mathbb{C}$ astfel încât $|z|=1$.
Să se arate că : $\sqrt{2} \leqslant |1-z| + |1+z^2| \leqslant 4$

(Concursul Memorialul "Ştefan Dârţu", Vatra Dornei, 10-12 decembrie 2004, Clasa a 10-a, Problema 3)

Rezolvare : (fără apel la trigonometrie sau observaţii geometrice)

Inegalitatea a doua este evidentă.
Pentru prima inegalitate folosim Lema de mai sus (postarea anterioară) cu consecinţa ei, deci avem 2 cazuri.
In plus este evident că $|1+i| = |1-i| = \sqrt{2}$

i) Dacă $|i+z| \geqslant 1$ avem : $\sqrt{2} = |1-i| = $

$ = |1-i-z+z| = |(1-z)-(i-z)| \leqslant |1-z|+|i-z| \leqslant |1-z| + |1+z^2|$

ii) Dacă $|i-z| \geqslant 1$ avem : $\sqrt{2} = |1+i| = $

$ = |1+i-z+z| = |(1-z)+(i+z)| \leqslant |1-z|+|i+z| \leqslant |1-z| + |1+z^2|$

[Admin]

Problemă
Fie triunghiul şi afixele vârfurilor .

Notând şi să se arate că

Rezolvare :

Fie mijlocul lui .









QED.

Observaţie metodică
În general, pentru avem echivalenţa : .

Cât despre echivalenţa :

acesta este un banal exerciţiu de geometrie pentru clasa a 7-a (chiar a 6-a) ...

[Admin]

Problemă

Să se arate că pentru orice avem inegalitatea :



Când se obţine egalitate ?

(Concursul "Traian Lalescu", Arad, 12 martie 2005 - Clasa a 10-a)

Rezolvare

Prima parte a problemei este una chiar foarte simpla. Se poate scrie :



Vom nota si avem de aratat ca sau :

, deci prima parte e demonstrata.

Am folosit inegalitatea triunghiului pentru numere complexe, care este aceeasi ca si la modulul de la numere reale :

Inegalitatea triunghiului - Wikipedia

=============================================

Partea a doua ("cand se obtine egalitate") este mult mai complicata decat prima. Pe scurt :

In primul rand ca trebuie sa avem : adica :
, deci . Deci :

si daca atunci dupa calcule respectiva parte reala este .

Avem 2 cazuri :

1) rezulta ca este de forma (unde este un numar real)

Inlocuind in relatia din enuntul problemei obtinem : sau

de unde obtinem imediat ca si atunci se afla pe diagonala a patratului de afixe .

Cu alte cuvinte unde este numar real,

2) implica unde este numar real. Inlocuind tot in relatia initiala a problemei si efectuand calculele avem iarasi :

deci si atunci se afla pe cealalta diagonala adica .

Cu alte cuvinte unde este numar real,

Algebric, multimea care reprezinta solutia este formata din 2 reuniuni de multimi (care inseamna, geometric, cele 2 diagonale ale patratului de afixe ):

---

Interpretarea geometrica este destul de evidenta. Iar la cazul general putem inlocui punctele si , demonstratia este analoaga si pentru dreptunghi chiar (nu doar patrat) si putem spune ca daca avem un dreptunghi de arie iar este un punct in planul dreptunghiului atunci avem :



PS. Interpretarea geometrica am facut-o pentru prima parte (demonstrarea inegalitatii) si problema ar arata asa :



In ce priveste partea a 2-a ("cand anume se obtine egalitate") este evident ca functioneaza pentru patrate exact ca in problema initiala (deci pentru un patrat de latura oarecare) dar nu am studiat in cazul unui dreptunghi in general ...