Inegalitatea lui HLAWKA (o soluţie găsită recent)$|x+y|+|y+z|+|z+x| \leqslant |x|+|y|+|z|+|x+y+z|$
DEM. (O soluţie simplă şi chiar elegantă ... dar şi alte detalii care au lungit expunerea...)
Mai întâi : $|x+y|^2+|y+z|^2+|z+x|^2 = |x|^2+|y|^2+|z|^2+|x+y+z|^2$
(***)Identitatea este foarte simplă dacă numerele sunt REALE, nu IMAGINARE (din $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$)... fiindcă $|a|^2 = a^2$ în $\mathbb{R}$
Am folosit doar 2 formule clasice "de calcul prescurtat" :
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ si $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
Revenind, dacă numerele COMPLEXE $x, y, z$ sunt scrise algebric : $x=x_1 + ix_2$, $y=y_1 + iy_2$, $z=z_1 + iz_2$
(Reamintesc pentru elevii din clasa a 7-a că numerele pot fi REALE, deci $x_2 = y_2 = z_2 = 0$ şi deci problema e şi mai simplă)
... iar $i = \sqrt{-1}$ este numărul complex (imaginar) "de bază" (... spaţiul numerelor complexe este foarte folositor, deşi la nivel de gimnaziu este mai greu de înţeles CUM să-l "introduci" pe acest $i = \sqrt{-1}$ ... şi cum arată $\mathbb{C}$
Domeniul numerele complexe a fost una din "zonele" mele favorite atunci când mergeam la olimpiade, in liceu. Chiar şi azi am o "slăbiciune" pentru numerele complexe...)
Continuăm. De exemplu $|x+y|^2 = (x_1 + y_1)^2 + (x_2 + y_2)^2$ . Se înlocuiesc şi atunci identitatea
(***) este una extrem de simplă (Nu mai discut momentan despre echivalenţa geometrică - deşi foarte simplă. De exemplu,
problemă pentru clasa a 7-a, problemă de RELAŢII METRICE : "Să se arate că într-un paralelogram de dimensiuni $L$ si $l$ şi diagonale $D$ si $d$ avem $D^2 + d^2 = 2(L^2 + l^2)$ ... iar relaţia iniţială este în spaţiu... deşi poate fi privită şi în plan, deci ca o problemă chiar de clasa a 7-a, nu doar de a 8-a)
Acum, de ce relaţia
(***) IMPLICĂ inegalitatea lui HLAWKA ?...
Inegalitatea triunghiului (vezi 2 postări mai sus, $|x+y| \leqslant |x|+|y|$ ) implică :
$|(x+y)(x+z)| = |yz + x \cdot (x+y+z)| \leqslant |yz| + |x(x+y+z)| = |y| \cdot |z| + |x| \cdot |x+y+z|$
Scriind şi celelalte 2 relaţii omoloage, înmulţindu-le cu 2 şi adunând obţinem : $(|x+y|+|y+z|+|z+x|)^2 \leqslant (|x|+|y|+|z|+|x+y+z|)^2$ şi cum modulul (de număr real sau complex) este o valoare $\geqslant 0$ putem extrage radical în membrul stâng şi drept, adică :
$|x+y|+|y+z|+|z+x| \leqslant |x|+|y|+|z|+|x+y+z|$ (deci inegalitatea lui
HLAWKA)