Inegalităţi algebrice

[Admin]

Topicul acesta este creat pentru exerciţiile de inegalităţi între numere reale şi expresii formate de numere reale.

Topicul : Inegalităţi clasice din "zona de Teorie" poate fi de un real ajutor.

[Admin]

Arataţi că $x^2 + x + 1 > 0$ oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$

Rezolvare :

$x^2 + x + 1 = x^2 + x + (\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}) = x^2 + 2\dfrac{1}{2}x + (\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4} = (x+\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$

Deci am obţinut suma dintre un număr mai mare sau egal decât $0$ (adică $(x+\dfrac{1}{2})^2$ ) şi $\dfrac{3}{4}$ care e strict mai mare decât $0$.
Rezultatul este evident ceva STRICT mai mare decât $0$.

Şi se observă când se obţine şi minimul expresiei $x^2 + x + 1$ pentru $x$ real ...
Anume atunci când $(x+\dfrac{1}{2})^2$ este chiar $0$, deci când $x=-\dfrac{1}{2}$ , iar valoarea expresiei este atunci $\dfrac{3}{4}$

PS.
Reamintesc topicul : Inegalităţi clasice din "zona de Teorie".

[Admin]

Inegalitatea mediilor (una din multele "demonstraţii geometrice")

...

Din figura de mai sus, folosind arii (deci fără "prelucrări algebrice" de data asta) reiese : $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

Atunci, inegalitatea dintre media geometrică $M_g$ şi media aritmetică $M_a$ reiese astfel :

$M_g = \sqrt{ab} = \sqrt{\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}} \leqslant \sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{4}} = \dfrac{a+b}{2} = M_a$

Singura inegalitate prezentă mai sus are loc deoarece :

$(a+b)^2 - (a-b)^2 \leqslant (a+b)^2$ lucru echivalent cu :

$0 \leqslant (a-b)^2$ , evident adevărat şi de unde se deduce şi când avem egalitate, anume când $a=b$

[Admin]

Pentru orice $x>0$ avem :

$x^2 + \dfrac{1}{x^2} \geqslant \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$

(Problemă dată de subsemnatul la OJM, clasa a 8-a, 2002)

Rezolvare

Notăm $y=\sqrt{x} > 0$ . Inegalitatea devine :

$y^4 + \dfrac{1}{y^4} \geqslant y + \dfrac{1}{y}$. Aducem la acelaşi numitor ($y^4$) la care apoi renunţăm, el fiind pozitiv. Obţinem :

$y^8 + 1 \geqslant y^5 + y^3 \Longleftrightarrow y^8 + 1 - y^5 - y^3 \geqslant 0$ adică :

$y^5(y^3-1) - (y^3-1) \geqslant 0$ adica $(y^5-1)(y^3-1) \geqslant 0$

- Dacă $x=1$ atunci $y=1$ şi avem egalitate.
- Dacă $x>1$ atunci $y>1$ şi ambele paranteze au semnul $+$ deci se verifică inegalitatea (strictă).
- Analog pentru $0<x<1$ cu deosebirea că cele două paranteze factor au semnul $-$ .

[Admin]

Dacă cele 4 numere intregi consecutive le notăm $a, a+1, a+2, a+3$ atunci :


$a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = a(a+3)(a+1)(a+2) + 1 =$

$= (a^2+3a)(a^2+3a+2) + 1$


Notăm pe $a^2+3a$ cu $k$ şi atunci expresia de mai sus devine :

$k(k+2) + 1 = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$ deci pătrat perfect

QED

Problemă
(Unde folosim tot ideea de mai sus, de comutare şi asociere a parantezelor ... aşa încât să ne poată fi util)

Care este minimul expresiei : $E(x) = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ dacă $x \in \mathbb{R}$ ?

(Concursul Louis Funar, 2012, clasa a 8-a)

Rezolvare:

$E(x) = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) = [(x+2)(x+5)] \cdot [(x+3)(x+4)] =$

$= (x^2+7x+10)(x^2+7x+12) = y(y+2)$ unde am notat $y = x^2+7x+10$.

Dar $y(y+2) \geqslant -1$ fiindcă $y^2+2y+1 \geqslant 0$ adică $(y+1)^2 \geqslant 0$ , lucru evident.

Deci am arătat deocamdată că $E(x) \geqslant -1$ ... dar se poate atinge acest minim ???

Pentru a se atinge minimul trebuie să avem neapărat $y+1=0$, adică $y=-1$ deci $x^2+7x+10 = -1$

Deci am obţinut ecuaţia de gradul al 2-lea : $x^2+7x+11 = 0$ , care are într-adevăr soluţii reale, iar acelea sunt :

$x_{1,2} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{5}}{2}$

[Admin]

Forum.MateInfo.Net

Problemă (Dan Sitaru) : Dacă $a,b,c > 0$ atunci :

$\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a+b} + \frac{b^2+c^2}{b+c} + \frac{c^2+a^2}{c+a} \geqslant 3\sqrt[3]{abc}$

Generalizare şi Rezolvare (G. Molea - Curtea de Argeş) :

Dacă $n \in \mathbb{N}$, $k \in \mathbb{N}^*\setminus \{1\}$ iar $a_1, a_2, ... , a_k \in (0,\infty)$ atunci :

$\displaystyle \frac{a_1^{n+1}+a_2^{n+1}}{a_1^n+a_2^n} + \frac{a_2^{n+1}+a_3^{n+1}}{a_2^n+a_3^n} + ... + \frac{a_k^{n+1}+a_1^{n+1}}{a_k^n+a_1^n} \geqslant k\sqrt[k]{a_1 a_2 ... a_k}$

$\displaystyle \frac{a_1^{n+1}+a_2^{n+1}}{a_1^n+a_2^n} \geqslant \sqrt{a_1a_2} \,$ $\Longleftrightarrow$ $\, (\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2})(a_1^n \sqrt{a_1} - a_2^n \sqrt{a_2}) \geqslant 0$     - parantezele au acelaşi semn.

În plus, din inegalitatea mediilor : $\displaystyle \sqrt{a_1a_2} + \sqrt{a_2a_3} + ... + \sqrt{a_ka_1} \geqslant k\sqrt[k]{a_1 a_2 ... a_k}$          Q.E.D.    

OBSERVAŢIE : Pentru $n = 0$ obţinem inegalitatea mediilor.

[Admin]

Fie $x, y > 0$. Să se arate că:

$\sqrt{xy} - \dfrac{2}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \leqslant \dfrac{x+y}{2} - \sqrt{xy}$ $~~~~~~~~~~$ (demonstrație simplă)

Inegalitatea $MG - MH \leqslant MA - MG$ are loc la cazul general ?

==============

Una din soluțiile la cazul 2 este și următoarea:

$MG = \sqrt{xy} = \sqrt{\dfrac{x + y}2\cdot\dfrac{2xy}{x + y}} = \sqrt{MA \cdot MH} \leqslant \dfrac{MA + MH}2$

[Admin]

Dacă $a, b \in \mathbb{R}_+$ astfel încât $a+b+ab = 3$ atunci $a + b \geqslant \sqrt{a} + \sqrt {b}$

(Olimpiada locală București, 2007 - Clasa a 8-a)

Folosindu-ne de inegalitatea dintre media aritmetică și media pătratică avem:

$\sqrt{a} + \sqrt {b} \leqslant 2 \sqrt{\dfrac{a+b}{2}}$

Deci e suficient să arătăm că $a+b \geqslant 2 \sqrt{\dfrac{a+b}{2}}$, care, după simplificare, devine:

$\sqrt{a+b} \geqslant \sqrt{2}$ adică $a+b \geqslant 2$.

Exprimând pe $b$ în funcție de $a$ avem $b = \dfrac{3-a}{a+1}$.

$a + \dfrac{3-a}{a+1} \geqslant 2$ este echivalent cu $a^2-2a+1 \geqslant 0$ care este evidentă.

Deci $a+b \geqslant 2$.

[Admin]

Să se arate că pentru $x \in [0,3]$ avem:

$\sqrt{18+3x-x^2} + \sqrt{9-x^2} + \sqrt{9-6x+x^2} + \sqrt{9x-3x^2} \leqslant 12$

(OLM clasa a 8-a, Județul Harghita - 2007)

Rezolvare:
Descompunem în factori și aplicăm inegalitatea mediilor $\sqrt{ab} \leqslant \dfrac{a+b}{2}$.

$\sqrt{(6-x)(x+3)} \leqslant \dfrac{6-x+x+3}{2} = \dfrac{9}{2}$

$\sqrt{(3-x)(3+x)} \leqslant \dfrac{3-x+3+x}{2} = 3$

$\sqrt{(3-x)^2} = 3-x$

$\sqrt{3x(3-x)} \leqslant \dfrac{3x+3-x}{2} = x + \dfrac{3}{2}$

Prin însumare membru cu membru obținem demonstrația.

[Admin]