Inegalităţi algebrice

[Admin]

Dacă numerele reale $x, y, z$ verifică relația $x+y+z = 1$ atunci:

$x^2+y^2+z^2 \geqslant \dfrac{1}{3}$

Soluție foarte simplă:

$3(x^2+y^2+z^2) = x^2+y^2+z^2+ 2(x^2+y^2+z^2) \geqslant$

$\geqslant x^2+y^2+z^2 + 2(xy+xz+yz) = (x+y+z)^2 = 1$

Soluție folosind inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz (C-B-S):

$(x^2+y^2+z^2)(1^2+1^2+1^2) \geqslant (x\cdot 1+y\cdot 1+z\cdot 1)^2 = 1$

Soluție folosind inegalitatea mediilor (media pătratică $\geqslant$ media aritmetică):

$\sqrt{\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}} \geqslant \dfrac{x+y+z}{3} \Rightarrow$

$\Rightarrow \dfrac{x^2+y^2+z^2}{3} \geqslant \Big(\dfrac{x+y+z}{3}\Big)^2 = \dfrac{1}{9}$.

[Admin]

Dacă $a+b = 1$ atunci $a^4 + b^4 \geqslant \dfrac{1}{8}$.

Rezolvare: Presupunem că $a, b \geqslant 0$,
altfel unul din numere e supraunitar deci inegalitatea este evidentă.

Vom folosi de 2 ori inegalitatea dintre media pătratică și cea aritmetică.

Avem: $\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}} \geqslant \dfrac{x+y}{2} \Rightarrow x^2+y^2 \geqslant \dfrac{(x+y)^2}{2}$. Deci:

$a^4+b^4 = (a^2)^2 + (b^2)^2 \geqslant \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2} \geqslant \dfrac{\Big[ \dfrac{(a+b)^2}{2} \Big]^2}{2} = \dfrac{1}{8}$