[7] Rapoarte şi Proporţii. Proporţii derivate

Postby **Admin** » 09 Mar 2013, 04:13

Topicul de Teorie şi Exerciţii de bază este aici : Rapoarte şi Proporţii. Proporţii derivate. Teorie

Problemă.

Calculaţi produsul : $p = \dfrac{(a+b) \cdot (a+c) \cdot (b+c)}{abc}$ ştiind că $\dfrac{b+c-a}{a} = \dfrac{a+c-b}{b} = \dfrac{a+b-c}{c}$

(Olimpiada Locală de Matematică, Braşov 2007, Clasa a 8-a)

Rezolvare

Egalitatea de mai sus o vom completa pe baza proprietăţii scrise în topicul de Teorie, anume :

deci

$\dfrac{b+c-a}{a} = \dfrac{a+c-b}{b} = \dfrac{a+b-c}{c} = \dfrac{(b+c-a)+(a+c-b)+(a+b-c)}{a+b+c}$

iar după reducerea termenilor asemenea la numărătorul fracţiei anterioare calculele conduc la $\dfrac {a+b+c}{a+b+c}$ adică la $1$

Atunci $\dfrac{b+c-a}{a} = 1$ sau $\dfrac{b+c}{a} - \dfrac{a}{a} = 1$ sau $\dfrac{b+c}{a} - 1 = 1$ sau $\dfrac{b+c}{a} = 2$

Similar $\dfrac{a+b}{c} = 2$ si la fel $\dfrac{a+c}{b} = 2$

Dar $p = \dfrac{(a+b) \cdot (a+c) \cdot (b+c)}{abc} = \dfrac{a+b}{c} \cdot \dfrac{a+c}{b} \cdot \dfrac{b+c}{a} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

QED

[7] Rapoarte şi Proporţii. Proporţii derivate

[7] Rapoarte şi Proporţii. Proporţii derivate

Who is online