Probleme de divizibilitate

[Iulian]

{Am publicat recent un răspuns la o problemă simplă, care se poate rezolva și la nivel de gimnaziu ...}

Buna am si eu o problema la matematica si chiar nu stiu cum sa o rezolv.
Cerinta e asa:Sa se arate ca 8n^3-12n^2+6n+63 este divizibil cu 2n+3
Ceva idei??
Multumesc.

O simplă împărțire polinomială se făcea "pe vremea mea" în clasa a 8-a (eu am terminat cls 8 în '83) ... mai apoi au fost polinoame de la clasa a 10-a, apoi în cls 12-a ...

Trebuie spus la ce nivel să se rezolve problema ... Fiindcă poți aborda altfel, fără a folosi noţiunea de polinom .. ci să folosești un "truc" :

$8n^3-12n^2+6n+63 = (an^2 + bn + c)(2n+3)$

... desfaci parantezele în membrul drept și ies pe rând a=4, b=-12, c=21 și gata ! ... (fiindcă, la problemele ușoare, e suficient ca să ai o "egalitate polinomială" .. deci coeficienții lui $n^2, n$ și termenul liber din membrul stâng trebuie să fie la fel în membrul drept ...)

.. în felul ăsta, fără polinoame, te poate conduce practic prin ghicire la cine este chiar rezultatul împărțirii !! .. Dar asta e o problemă ușoară ... La unele care în aparență apar ca cea de sus nu mai merge deloc cu polinoame (nici măcar ca să-ți folosească la ghicitul rezultatului ...)

PS. Folosiți Editorul Latex Online pe forum ... (are Preview instantaneu - pe măsură ce scrieți vedeți și rezultatul ..)
AICI găsiți detalii de utilizare ...

[Admin]

Dacă $n$ este un număr natural și $n+1 ~ \vdots ~ 24$ atunci
suma divizorilor lui $n$ se divide cu 24.

Rezolvare

Evident $n = M24-1$ deci nu e pătrat perfect, fiindcă $n \equiv -1$ (mod 3).

Orice divizor $d$ al lui $n$ este de una din formele: $M12 \pm 1$ sau $M12 \pm 5$

Deci $d^2 \equiv 1$ (mod 24). Observăm și că $(d, 24) = 1$.

Cuplăm divizorii lui $n$ , doi câte doi, astfel: $1 \leqslant d < \sqrt{n}$ împreună cu $\sqrt{n} < \dfrac{n}{d} \leqslant n$.

Suma acestora este $d + \dfrac{n}{d} = \dfrac{d^2 + n}{d} ~ \vdots ~ 24$,

fiindcă numărătorul este divizibil cu 24 iar numitorul e prim cu 24.

Observație: Se poate lucra și separat cu congruențele modulo 3 și 8.

[Admin]

Problemă. Dacă $n \in \mathbb{N}^*$ atunci $10^n + 1988 ~ \vdots ~ 18$

Soluție: $18 = 2 \cdot 9$ iar $(2, 9) = 1$ deci e suficient să arătăm

că expresia dată este divizibilă cu $2$ și cu $9$.

Pentru $n \in \mathbb{N}^*$ avem că $10^n$ și $1988$ sunt pare. Deci $10^n + 1988 ~ \vdots ~ 2$.

Pentru $n = 1, 2, 3$ numerele $1998, 2088, 2988$ sunt divizibile cu $9$.

De asemenea, pentru $n > 3$ natural, $10..01988$ se divide cu $9$ (suma cifrelor e $27$).