Formule de calcul prescurtat

[Admin]

PROBLEMĂ
Dacă $x + y = 7$ şi $xy = 5$, atunci ce valoare are $x^2+y^2$ ?

REZOLVARE

$49 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2 + 2 \cdot 5 = x^2 + y^2 + 10$

Deci $x^2 + y^2 = 49 - 10 = 39$.

[Admin]

[Admin]

$a^2 + 2ab + b^2 - 1 = $

$ = (a^2 + 2ab + b^2) - 1 = $

$ = (a+b)^2 - 1 = $

$ = (a+b+1)(a+b-1)$

[Admin]

$x^2 -4xy + 4y^2 - 9$

[Admin]

Dacă $a, b, c$ sunt laturile unui triunghi și avem relația:

$a^2b + b^2c + c^2a = a^2c + b^2a + c^2b$

atunci triunghiul este isoscel.

Rezolvare

$(a^2b - a^2c) + (b^2c - c^2b) + (c^2a - b^2a) =0$

$a^2(b-c) + bc(b-c) - a(b-c)(b+c) = 0$

$(b-c)(a^2 + bc - ab - ac) = 0$

$(b-c)\Big[a(a-b) - c(a-b)\Big] = 0$

$(b-c)(a-b)(a-c) = 0$ de unde rezultă concluzia.