Inducția Matematică

Elemente de Matematică și Informatică. Teorie, Probleme. Discuții.
User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 746
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Inducția Matematică

Postby Admin » 30 Jul 2016, 16:59

Să se demonstreze relația: $\displaystyle 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ (***)

1). Pasul inițial - Pentru $n=1$ avem egalitatea: $\displaystyle 1 = \frac{1(1+1)}{2}$ care este adevărată.

2). Pasul iterativ (inductiv) - Presupunem că inegalitatea (***) are loc pentru $n$ ...

...și să demonstrăm că atunci are loc și pentru $n+1$

Deci presupunem adevărată relația (***) și să demonstrăm că $\displaystyle 1 + 2 + ... + n + n+1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Primii $n$ termeni din sumă adunați dau conform relației (***) valoarea $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$. Atunci avem de arătat:

$\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} + n+1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Aducem la același numitor (2) - apoi renunțăm la el (amplificare cu numitorul comun) și rămâne de arătat că :

$n(n+1) + 2n + 2 = (n+1)(n+2)$ adică $n^2 + 3n +2 = n^2 + 3n + 2$ - ceea ce este evident. QED. :-bd



Return to “Teorie și Probleme”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 1 guest

mateinfo
UP
cron