Partea întreagă și partea fracționară

Elemente de Matematică și Informatică. Teorie, Probleme. Discuții.
User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Partea întreagă și partea fracționară

Postby Admin » 11 Aug 2016, 20:09

Partea întreagă a lui x se notează [x]
Partea fracționară a lui x se notează {x}

Partea întreagă a unui număr înseamnă cel mai mare întreg care este mai mic sau egal decât numărul dat.

Partea fracționară a unui număr se definește ca diferența dintre număr și partea sa întreagă.
Altfel spus avem: x = [x] + {x}


[3,52] = 3
[-5,87] = -6

{3,52} = 0,52
{-5,87} = 0,13

Observație: Partea fracționară este un număr aparținând de intervalul [0,1)
Deci partea fracționară este un număr mai mare sau egal decât 0 și strict mai mic decât 1



User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Partea întreagă și partea fracționară

Postby Admin » 11 Aug 2016, 20:11

Dacă $x \in \mathbb{R}$ și $p \in \mathbb{Z}$ atunci $[x+p] = [x]+p$

Demonstrație

Considerăm numărul întreg $n$ ca fiind partea întreagă a lui $x+p$ ...altfel scris $[x+p] = n$.

Știm atunci (din definiția părții întregi) dubla inegalitate: $n \leqslant x+p < n+1$
Scadem $p$ în dubla inegalitate de mai sus și avem:

$n-p \leqslant x < n-p+1$

Dar cum $n-p$ este întreg (diferență de doi întregi) relația indică chiar $n-p = [x]$ ...care implică $n = [x]+p$
QED

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Partea întreagă și partea fracționară

Postby Admin » 13 Aug 2016, 18:39

În definirea părții întregi și fracționare este suficient să scriem așa:

$x = [x] + \{x\}$ unde $[x] \in \mathbb{Z}$ și $\{x\} \in [0,1)$

Scrierea de mai sus definește complet, fără contradicții, partea întreagă și partea fracționară.

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Partea întreagă și partea fracționară

Postby Admin » 14 Sep 2020, 18:40

Întrebare:

[x + y] = [x] + [y] ?

Răspuns:
Click button to Show or Hide
Nu!
Exemplu (mai bine zis "contraexemplu"):

[3,7 + 4,5] = [8,2] = 8, pe când

[3,7] + [4,5] = 3 + 4 = 7

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Partea întreagă și partea fracționară

Postby Admin » 14 Sep 2020, 18:55

Întrebare:

{x + y} = {x} + {y} ?

Răspuns:
Click button to Show or Hide
Nu!
Exemplu (mai bine zis "contraexemplu"):

{3,5 + 2,8} = {6,3} = 0,3 , pe când

{3,5} + {2,8} = 0,5 + 0,8 = 1,3


Return to “Teorie și Probleme”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 1 guest

mateinfo
UP
cron