Sistem de axe ortogonale

Elemente de Matematică și Informatică. Teorie, Probleme. Discuții.
User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Sistem de axe ortogonale

Postby Admin » 23 May 2020, 13:05

Să se determine coordonatele mijlocului segmentului AB ştiind că A(5, −4) şi B( −3,6).

Click button to Show or Hide
$M(\dfrac{5-3}{2}, \dfrac{-4+6}{2}) = M(1,1)$



User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Sistem de axe ortogonale

Postby Admin » 23 May 2020, 13:07

Fie A={x∈Z*|−3≤x<4} şi o mulţime B.
De la A la B se stabileşte o stabileşte o dependentă funcţională după regula y=4−x.
Ce elemente trebuie să conţină în mod obligatoriu mulţimea B?

Click button to Show or Hide
A = {-3, -2, -1, 1, 2, 3}

y = 4-(-3) = 4+3 = 7 deci B trebuie să conțină pe 7. Analog B trebuie să conțină pe 6, 5, 3, 2, 1

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Sistem de axe ortogonale

Postby Admin » 23 May 2020, 20:30

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,3), B(6,5), C(4,−7).
Să se calculeze distanţa de la punctul A la mijlocul segmentului BC.

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Sistem de axe ortogonale

Postby Admin » 23 May 2020, 20:53

Dacă mulţimea A are 2 elemente şi mulţimea B are 3 elemente să se afle numărul dependentelor funcţionale de la A la B.

Click button to Show or Hide
În general vorbind, dacă avem o mulțime $A$ cu cardinal $|A|=a$ și o mulțime $B$ cu cardinal $|B|=b$,

atunci numărul dependențelor funcționale (funcțiilor) de la $A$ la $B$ este de $b^a$.

În problema de mai sus avem deci $3^2 = 9$ dependențe funcționale de la $A$ la $B$.

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Sistem de axe ortogonale

Postby Admin » 23 May 2020, 21:31

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$ şi $B(m^2 −1,0)$, cu $m∈R$.
Să se determine valorile reale ale lui $m$ astfel încât punctul $C(5,0)$ să fie mijlocul segmentului $AB$.

Click button to Show or Hide
Dacă $C$ este mijlocul lui $AB$ atunci $\dfrac{2+m^2-1}{2} = 5$. (Și $\dfrac{0+0}{2}=0$, dar asta este evidentă).

Deci $m^2+1=10$ adică $m^2=9$ deci $m = \pm 3$

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Sistem de axe ortogonale

Postby Admin » 23 May 2020, 22:29

- Dacă două puncte A și B au aceeași ordonată (2) atunci dreapta (segmentul) AB este paralelă cu axa abciselor.

- Dacă două puncte C și D au aceeași abcisă (-5) atunci dreapta (segmentul) CD este paralelă cu axa ordonatelor.

Image



User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Sistem de axe ortogonale

Postby Admin » 23 May 2020, 22:36

Să se afle x şi y dacă dacă (3x−2,2−y)=(7,3).

Click button to Show or Hide
3x-2 = 7
2-y = 3

de unde x=3 și y=-1

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Sistem de axe ortogonale

Postby Admin » 23 May 2020, 22:54

Fie sistemul de coordonate carteziene xOy şi punctele A(−1,2), B(3,−1), C(5,10).
Să se arate ca triunghiul ABC este dreptunghic.

Click button to Show or Hide
$\displaystyle AB = \sqrt{(3+1)^2+(-1-2)^2} = \sqrt{16+9} = 5$

$\displaystyle AC = \sqrt{(5+1)^2+(10-2)^2} = \sqrt{36+64} = 10$

$\displaystyle BC = \sqrt{(5-3)^2+(10+1)^2} = \sqrt{4+121} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

Cea mai mare latură este $BC = 5\sqrt{5}$. Atunci verificăm dacă $AB^2 + AC^2 = BC^2$

$5^2 + 10^2 = (5\sqrt{5})^2$ adică $125=125$ - deci triunghiul este dreptunghic (din reciproca teoremei lui Pitagora)

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Sistem de axe ortogonale

Postby Admin » 24 May 2020, 17:53

Se consideră punctele A(3,m) şi B(m,−3). Să se determine m∈R astfel încât AB=6.

Click button to Show or Hide
$AB = 6$ implică $\sqrt{(m-3)^2+(-3-m)^2} = 6$ sau $\sqrt{(m-3)^2+(m+3)^2} = 6$

$\sqrt{2m^2 + 18} = 6$ adică $2m^2 + 18 = 36$. Deci $m^2 = 9$ de unde $m = \pm 3$

User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Sistem de axe ortogonale

Postby Admin » 24 May 2020, 19:38

Arătaţi că punctele A(2, −2), B(8, 4), C(5, 7), D(−1, 1) sunt vârfurile unui dreptunghi şi aflaţi aria dreptunghiului.

Click button to Show or Hide
Mijlocul lui $AC$ are coordonatele: $(\dfrac{2+5}{2}, \dfrac{-2+7}{2}) = (\dfrac{7}{2}, \dfrac{5}{2})$

Mijlocul lui $BD$ are coordonatele: $(\dfrac{8-1}{2}, \dfrac{4+1}{2}) = (\dfrac{7}{2}, \dfrac{5}{2})$

Deci $ABCD$ este paralelogram (fiindcă diagonalele au același mijloc).

$AC = \sqrt{(5-2)^2+(7+2)^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

$BD = \sqrt{(-1-8)^2+(1-4)^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

Deci diagonalele sunt congruente și atunci $ABCD$ este dreptunghi.

Pentru calculul ariei vom calcula mai întâi pe $AB$ și pe $BC$.

$AB = \sqrt{(8-2)^2+(4+2)^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

$BC = \sqrt{(5-8)^2+(7-4)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$ARIA = AB \cdot BC = 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 36.$


Return to “Teorie și Probleme”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 1 guest

mateinfo
UP
cron