Inegalități geometrice

Elemente de Matematică și Informatică. Teorie, Probleme. Discuții.
User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 738
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Inegalități geometrice

Postby Admin » 22 May 2021, 13:10

Inegalitatea lui Seitel. Să se arate că în orice triunghi avem:

$h_a + h_b + h_c \geqslant 9r$

Demonstrație: Se știe că $h_a = \dfrac{2S}{a}$ sau $h_a = 2Sf(a)$ unde $f(x) = \dfrac{1}{x}$ pentru $x \in (0,p)$.

Evident $f''(x) > 0$ deci funcția este convexă. Aplicăm inegalitatea lui Jensen și avem:

$f(a) + f(b) + f(c) \geqslant 3f(\dfrac{a+b+c}{3})$ , adică:

$f(a) + f(b) + f(c) \geqslant 3f(\dfrac{2p}{3}) = 3 \cdot \dfrac{3}{2p}$ deci, înmulțind cu $2S$:

$h_a + h_b + h_c \geqslant 2S \cdot \dfrac{9}{2p} = 9r$



Return to “Teorie și Probleme”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 2 guests

mateinfo
UP
cron