Identități algebrice
Posted: 20 Jun 2021, 17:21
Fie $x, y, z$ numere reale nenule.
Dacă $(x+y+z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) = 1$ atunci avem:
$(x+y)(x+z)(y+z) = 0$
Rezolvare
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x+y+z} \Rightarrow \dfrac{xy+xz+yz}{xyz} = \dfrac{1}{x+y+z} \Rightarrow$
$\Rightarrow (x+y+z)(xy+xz+yz) - xyz=0$ și acum se folosește identitatea:
$(x+y+z)(xy+xz+yz) - xyz = (x+y)(x+z)(y+z)$
Dacă $(x+y+z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) = 1$ atunci avem:
$(x+y)(x+z)(y+z) = 0$
Rezolvare
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x+y+z} \Rightarrow \dfrac{xy+xz+yz}{xyz} = \dfrac{1}{x+y+z} \Rightarrow$
$\Rightarrow (x+y+z)(xy+xz+yz) - xyz=0$ și acum se folosește identitatea:
$(x+y+z)(xy+xz+yz) - xyz = (x+y)(x+z)(y+z)$