Pătrate perfecte

[Admin]

Să se arate că numărul $N$ este pătrat perfect, $N = 11...122...25$,
unde 1 se repetă de $n$ ori iar 2 se repetă de $n+1$ ori.

(O.B.J., 1998 - Acolo era n=1997)

Soluție: $N = 5 + 2(10 + 10^2 +...+ 10^{n+1}) + (10^{n+2} +...+10^{2n+1}) = $

$= 5 + 20 \dfrac{10^{n+1}-1}{9} + 10^{n+2} \dfrac{10^n - 1}{9} = $

$ = \dfrac{45 + 2 \cdot 10^{n+2} - 20 + 10^{2n+2} - 10^{n+2}}{9}$

$= \dfrac{25 + 2 \cdot 5 \cdot 10^{n+1} + (10^{n+1})^2}{9} = (\dfrac{5 + 10^{n+1}}{3})^2$

Evident $5 + 10^{n+1} ~ \vdots ~ 3$ și problema e demonstrată.

[Admin]

Problemă. Să se determine numerele naturale nenule $n$

pentru care: $1! + 2! + ... + n!$ este pătrat perfect.

Rezolvare

Pentru $n \geqslant 5$ avem faptul că $5!$, $6!$, ... , $n!$ se termină în $0$.

Și cum $1! + 2! + 3! + 4! = 33$ deci se termină în $3$, și nu există

pătrate perfecte ce se termină în $3$ (sau $2$ sau $7$ sau $8$),

atunci $n$ nu poate fi mai mare decât $4$.

Iar cazurile $1,2,3,4$ se verifică în parte.

Rămân cazurile care convin: $n=1$ și $n=3$.