Soluție unică: $a=3, b=2$
Prin amplificare cu $\sqrt{3} - \sqrt{b}$ (valoarea nu se schimbă) avem că:
$\sqrt{6} - \sqrt{2b} + \sqrt{3a} - \sqrt{ab} \in \mathbb{Q}$ - (1)
Prin amplificare cu $\sqrt{2} - \sqrt{a}$ avem că:
$\sqrt{6} - \sqrt{3a} - \sqrt{2b} - \sqrt{ab} \in \mathbb{Q}$ - (2)
Prin adunarea și scăderea relațiilor (1) și (2) obținem:
$\sqrt{2b} - \sqrt{3a} \in \mathbb{Q}$ - (3) și
$\sqrt{6} - \sqrt{ab} \in \mathbb{Q}$ - (4)
Dacă $\sqrt{2b} - \sqrt{3a} = 0$ rezultă $2b = 3a$ rezultă $b = 3t$ și $a = 2t$.
Atunci folosim relația (4): $\sqrt{6} - \sqrt{ab} = \sqrt{6} - \sqrt{3t \cdot 2t} = \sqrt{6} (1-t) \in \mathbb{Q}$
Rezultă $t = 1$ deci am avea $a = 2$ și $b = 3$ lucru care nu convine. Atunci $\sqrt{2b} - \sqrt{3a}$ e nenul.
Fie $\sqrt{2b} - \sqrt{3a} = q \in \mathbb{Q}$, nenul. Atunci $\sqrt{2b} = q + \sqrt{3a}$.
Prin ridicare la pătrat avem $\sqrt{3a}$ e rațional. Deci $3a$ e pătrat perfect, deci $a = 3k^2$. Analog $b = 2n^2$.
Presupunem $\dfrac{\sqrt{2} + k \sqrt{3}}{\sqrt{3} + n \sqrt{2}} = r$ rațional. Atunci:
$\sqrt{2} + k\sqrt{3} = r\sqrt{3} + rn \sqrt{2}$ deci $\sqrt{2} (1 - rn) = \sqrt{3} (r - k)$
Obligatoriu $r - k = 0$ deci $r = k$ (deci ambele naturale) și $1 - rn = 0$ deci $r = k = n = 1$
Deci $a = 3, b=1$
|
|
