[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

[Gaby]

Aratati ca $x^2 + x + 1 > 0$ oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$

[Admin]

Aratati ca $x^2 + x + 1 > 0$ oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$

$x^2 + x + 1 = x^2 + x + (\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}) = x^2 + 2\dfrac{1}{2}x + (\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4} = (x+\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$

Deci am obţinut suma dintre un număr mai mare sau egal decât $0$ (adică $(x+\dfrac{1}{2})^2$ ) şi $\dfrac{3}{4}$ care e strict mai mare decât $0$.
Rezultatul este evident ceva STRICT mai mare decât $0$.

Şi se observă când se obţine şi minimul expresiei $x^2 + x + 1$ pentru $x$ real ...
Anume atunci când $(x+\dfrac{1}{2})^2$ este chiar $0$, deci când $x=-\dfrac{1}{2}$ , iar valoarea expresiei este atunci $\dfrac{3}{4}$

[Alina Aly]

Ajutati-ma si pe mine la un exercitiu:
Aratati ca daca a,b,c,d sunt numere naturale consecutive,atunci abcd+1 este patrat perfect

[Admin]

Ajutati-ma si pe mine la un exercitiu:
Aratati ca daca a,b,c,d sunt numere naturale consecutive,atunci abcd+1 este patrat perfect

Dacă cele 4 numere consecutive le notăm $a, a+1, a+2, a+3$ atunci :


$a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = a(a+3)(a+1)(a+2) + 1 = $

$= (a^2+3a)(a^2+3a+2) + 1$


Notăm pe $a^2+3a$ cu $k$ şi atunci expresia de mai sus devine :

$k(k+2) + 1 = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$ deci pătrat perfect

QED

[Admin]

UPDATE : Imaginea de mai jos nu mai este de actualitate.
(sub)Forumurile se cheamă acum GIMNAZIU şi LICEU (deci 2 în loc de 8) .. şi este de preferat ca NUMELE Topicelor să fie prefixate cu numele claselor (pe cât posibil) aşa : [5] , [6] , [7] , [8] respectiv [9] , [10] , [11] , [12]

---

Am redenumit topicul în : Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora).

Şi deasemenea i-am schimbat locaţia aşa cum se observă în FOTO mai jos, fiindcă e un loc mai potrivit.
E adevărat că e vorba de exerciţii dar dintr-un anume manual.

...

[Admin]

Pagina 154 - Problema III.1, a) şi b)

b)

a) În ce priveşte demonstrarea perpendicularităţilor : $CD \perp MA$, $AB \perp MD$, $OP \perp (ABC)$ ,
se folosesc definiţiile, axiomele şi teoremele din manual precum şi una din proprietăţile liniei mijlocii într-un triunghi.

[Admin]

Ajutati-ma si pe mine la un exercitiu:
Aratati ca daca a,b,c,d sunt numere naturale consecutive,atunci abcd+1 este patrat perfect

Dacă cele 4 numere consecutive le notăm $a, a+1, a+2, a+3$ atunci :


$a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = a(a+3)(a+1)(a+2) + 1 = $

$= (a^2+3a)(a^2+3a+2) + 1$


Notăm pe $a^2+3a$ cu $k$ şi atunci expresia de mai sus devine :

$k(k+2) + 1 = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$ deci pătrat perfect

QED

Aceeaşi rezolvare de mai sus dar folosind butonul TEX pentru încadrarea formulelor matematice în loc de simbolul dollar.
[.. Detalii AICI, în această pagină - Click ! ..]


Dacă cele 4 numere consecutive le notăm atunci :







Notăm pe cu şi atunci expresia de mai sus devine :

deci pătrat perfect

QED

=================================================================

PS.
- Prima variantă are la bază lucrul cu FONTURI şi deci are o aliniere mai bună a formulelor matematice faţă de textul ce le încadrează .. şi multe alte lucruri, motive pentru care recomand această metodă, deci cea cu simbolul dollar.

- În schimb, cea de-a doua metodă (cu formulele matematice încadrate de tag-urile TEX, deci folosind butonul TEX) se bazează pe IMAGINI (fiecare formulă generează o imagine, deci formulele sunt de fapt nişte imagini).

(Există situaţii, rare, în care e posibil să se prefere a 2-a metodă)

[.. Detalii AICI, în această pagină - Click ! ..]

[Gaby]

ABCD - patrat
{E} apartine de Interiorul (ABCD) astfel incat m(EAB)=m(EBA)=150grade
Sa se arate ca triunghiul ECD este echilateral

[Admin]

ABCD - patrat
{E} apartine de Interiorul (ABCD) astfel incat m(EAB)=m(EBA)=150grade
Sa se arate ca triunghiul ECD este echilateral

Gaby, pe 30 decembrie, am creat topicul Construcţii ingenioase în rezolvarea unor probleme (click pe Link).

Acolo, în a 2-a postare, este rezolvată şi problema asta.
(Cu soluţia foarte simplă ... Problema are şi alte soluţii, dar cu mult calcul)

[Gaby]

Va multumesc !