Exerciții diverse

[Admin]

[Admin]

(Ultima parte a problemei 3 de la concursul Dan Barbilian, clasa a 12-a, oct. 2004)

Fie $M = \{E(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz ~ | ~ x,y,z \in \mathbb{Z} \}$

Să se arate că $M = \mathbb{Z} - \{ k \in \mathbb{Z} ~ | ~ $ $k$ divizibil cu $3$ dar nu cu $9$ $\}$

======================
Acum vreo 10 ani am notat în subsolul paginii o soluție completă.
(Problema nu are soluție în carte). Habar n-am cum mi-a venit în minte soluția.
Chestia e că nu-mi pare o soluție naturală. (Parcă e pe ghicite, efectiv construiesc)
Poate cineva vine cu o soluție diferită.

Soluția mea e cam așa:
1) $x-1 = y = z$ rezultă $E = 3x-2$
2) $x+1 = y = z$ rezultă $E = 3x+2$
3) $x+1 = y = z-1$ rezultă $E = 9(x+1)$

PS. Bineînțeles este nevoie și de completarea că dacă $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ este multiplu de $3$ atunci e multiplu și de $9$. Dar asta nu e ceva greu, singurele cazuri pentru a fi multiplu de $3$ este ca cele $3$ numere să dea resturile: $(0,0,0), (0,1,-1), (1,1,1)$ la împărțirea cu $3$ - și toate aceste $3$ cazuri conduc la multiplu de $9$.