Exerciții diverse

[Admin]

Fie $x$ un pătrat perfect.

Dacă $10^0 \leqslant x < 10^2$ deci dacă $1 \leqslant x < 100$ (adică dacă $x$ are 1 sau 2 cifre)
atunci $\sqrt{x}$ are o cifră.

Dacă $10^2 \leqslant x < 10^4$ deci dacă $100 \leqslant x < 10.000$ (adică dacă $x$ are 3 sau 4 cifre)
atunci $\sqrt{x}$ are 2 cifre.

Dacă $10^4 \leqslant x < 10^6$ deci dacă $10.000 \leqslant x < 1.000.000$ (adică dacă $x$ are 5 sau 6 cifre)
atunci $\sqrt{x}$ are 3 cifre.

...și așa mai departe......... adică:

Dacă $10^{2k} \leqslant x < 10^{2k+2}$ (adică dacă $x$ are 2k+1 sau 2k+2 cifre)
atunci $\sqrt{x}$ are $k+1$ cifre.

[Admin]

Dacă $x$ și $y$ sunt două numere raționale atunci:

$x+y$, $x-y$, $x \cdot y$, $\dfrac{x}{y}$ sunt raționale (aparțin de $\mathbb{Q}$)

Dar dacă unul din ele este rațional și celălalt irațional,
atunci suma, diferența, produsul și câtul sunt iraționale (aparțin de $\mathbb{R}$ \ $\mathbb{Q}$)

[Admin]

[Mate]

$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+ac+bc$

[Mate]

Fie multimea A={ x∈ℝ | 0 ≤ x ≤ 3 } .

Scrisă sub formă de interval multimea A este egală cu [0; 3].

[Admin]

Fie $x$ un număr rațional.
Atunci numerele $\sqrt{x+1}, \sqrt{x+2}, \sqrt{x+3}$ nu pot fi simultan numere raționale.

Considerăm:
$x+1 = \dfrac{m^2}{n^2}$

$x+2 = \dfrac{m^2 + n^2}{n^2}$

$x+3 = \dfrac{m^2 + 2n^2}{n^2}$

Numărătorii trebuie să fie pătrate perfecte deci:

$m^2 = m^2$
$m^2 + n^2 = k^2$
$m^2 + 2n^2 = l^2$

Se observă destul de ușor că $m$ este impar (la fel și $k$ și $l$) iar $n$ e par.
La fel, $n$ e multiplu de $3$. ...Mai departe? (Sau: altfel?...)

[Admin]

Let $x$ be a rational number.
Then the following numbers $\sqrt{x+1}, \sqrt{x+2}, \sqrt{x+3}$ cannot be simultaneously rational.

Consider:
$x+1 = \dfrac{m^2}{n^2}$

$x+2 = \dfrac{m^2 + n^2}{n^2}$

$x+3 = \dfrac{m^2 + 2n^2}{n^2}$

The numerators must be perfect squares, so:

$m^2 = m^2$
$m^2 + n^2 = k^2$
$m^2 + 2n^2 = l^2$

It's rather simple to see that $m$ is odd (so $k$ and $l$) and $n$ is even.
As well, $n$ is multiple of $3$. ...Further? (Or: otherwise?...)

[Admin]

Let $k>0~$ be fixed. Find
$$\min\left(\sqrt{ka+1}+\sqrt{kb+1}+\sqrt{kc+1}\right)$$
over all $c, b, a\geq0~\text{satisfying}~ab+bc+ac=a+b+c>0~.$

==================

In case we have 2 positive numbers $a+b=ab$ results that $a, b > 1$ and $a= \dfrac{b}{b-1}$,
so the minimum of the expression $ab$ is 4 because $\dfrac{b}{b-1} \cdot b \geqslant 4$ - equality when $a=b=2$

Then $(\sqrt{ka+1} + \sqrt{kb+1})^2 = kab+2+ 2\sqrt{k^2ab + kab +1} ~~~$ (I've used $a+b = ab$)

so the minimum is reached when $ab$ is minimal, that is 4 so we obtain $4k+2 + 2\sqrt{4k^2 + 4k + 1} = 4(2k+1)$

That is the minimum searched is $2\sqrt{2k+1}$.

In case of 3 numbers I wonder if an idea is to raise to power 2 and proceed in some similar way...

[Admin]

Care este măsura unghiului format de acele ceasornicului când acesta indică ora 2 și 20 de minute?

$2 \cdot \dfrac{180}{6} - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{180}{6} = 60 - 10 = 50 ~~$ de grade.

[Admin]

Fie $a, b$ numere naturale.

Dacă $\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{a}}{\sqrt{3} + \sqrt{b}}$ este rațional,

să se afle $a$ și $b$.

Răspunsul din carte este $a=3$ și $b=2$. (Atât)
(«Exerciții și probleme pentru liceu» - N. Nediță et al (2002) - La clasa a 9-a)

Am găsit o rezolvare "parțială" dar care mă conduce la $a = 2k^2$ și $b = 3n^2$.
(Caz ce nu produce soluții deloc)
====================================

$\sqrt{2} + \sqrt{a} = q(\sqrt{3} + \sqrt{b})$. Ridic la pătrat și rezultă :

$\sqrt{2a} - q^2\sqrt{3b} = p$ rațional. Rezultă: $\sqrt{2a} = p + q^2 \sqrt{3b}$

Iarăși ridicare la pătrat și $\sqrt{3b}$ e rațional deci $b = 3n^2$ deci trebuie și $a = 2k^2$.
(Cred că aici apare o greșeală. Adică dacă $p=0$ nu mai merge cu ridicare la pătrat..........)
O să mă mai uit și mâine la ea... Poate între timp vine cineva cu o idee...
======================================

Am rezolvat, dar cu o soluție încâlcită...
Dacă $p=0$ atunci avem $\sqrt{2a} = q^2\sqrt{3b}$
Ridic la pătrat și scot pe $a$ în funcție de $b$, anume $b = \dfrac{2a}{3q^4}$

Înlocuiesc în fracția inițială egalată cu $q$ iar $b$ înlocuit cu $\dfrac{2a}{3q^4}$
și prin ridicări la pătrat se ajunge la $a=3q^2$ iar apoi $b=\dfrac{2}{q^2}$
(Se observă ușor că înlocuind în fracția inițială pe $a$ și $b$ cu aceste valori se obține $q$)

Dar $a$ și $b$ sunt naturale. Deci obligatoriu $q$ e natural (altfel $a$ nu e natural) și apoi
obținem că $q=1$. În acest caz se obține soluția $a=3$ și $b=2$ cum am mai scris...