[8] Exerciţii din manualul "Savu-Caba" (Editura Teora)

Postby **Admin** » 16 Jan 2013, 22:35

Pagina 170 - Problema 7

Dreptunghiul $ABCD$ cu $AB= \sqrt{10}$ si $BC= \sqrt{15}$ se pliază după diagonala $BD$ până când $AC= \sqrt{13}$ .
Să se afle măsura unghiului diedru format de cele 2 plane noi formate (noul plan $(ABD)$ cu planul iniţial al dreptunghiului).

Rezolvare :

In dreptunghiul iniţial ducem $AE$ si $CF$ perpendiculare pe $BD$ .

Imediat se calculează :

- diagonala $BD = 5$

- $AE = CF = \sqrt{6}$

- $BE = FD = 2$ si deci $EF = 1$ .

Atunci rezultă $CE = \sqrt{7}$ , deci în noul triunghi format $\Delta AEC$ se verifică reciproca teoremei lui Pitagora.
Deci $AE \perp EC$ . Am obţinut că noua dreaptă $AE$ este perpendiculară pe 2 drepte concurente din planul iniţial (adică pe $BD$ şi pe $EC$ deci noua dreaptă $AE$ este perpendiculară pe planul iniţial).

Cum orice plan care conţine o dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendicular pe acel plan deducem că cele 2 plane sunt perpendiculare deci formează un unghi de 90^o. QED.

Gaby · Postby **Gaby** » 25 Mar 2013, 21:41

Figura urmatoare reprezinta schita unui teren a carui arie este de 5 ari.Se cunosc:AB=35 m,AD=20 m,N /in/ (DC),NC=x(x este o distanta exprimata in metri).Suprafata AMND este cultivata cu cartofi,iar suprafata MBCN este cultivata cu sfecla.
a) Calculati lungimea laturii DC.
b) Exprimati in functie de x aria suprafetei cultivate cu cartofi si determinati pentru ce valoare a lui x, aria lui AMND este egala cu aria lui MBCN.
c) Stiind ca de pe un ar de teren se recolteaza 30 kg de sfecla, aflati cate kg de sfecla s-au recoltat (pentru x determinat la punctul b))

(Aceasta este problema de la evaluarea nationala - simulare 14.02.2013)

Postby **Admin** » 25 Mar 2013, 23:15

Gaby » 25 Mar 2013, 21:41 wrote:... (enuntul in postarea de mai sus) ...

1 a = 100 m² (vine de la 10 X 10 metri patrati), deci 5 a = 500 m²

a) Aria este de 500 m² deci (B+b)*h/2 = 500 si iese imediat DC=15.
(Nu e bine proportionat desenul dar l-am largit ca sa scriu mai repede inauntrul lui ...)

b) DN = 15-x, iar AMND este un dreptunghi cu dimensiunile 20 si 15-x ... E clara aria 20*(15-x).
Daca cele 2 arii sunt egale trebuie ca AMND sa aiba jumate din aria trapezului ... deci 2,5 a adica 250 m² ...
Si de aici iese x.

c) O banala inmultire : 30 * 2,5 = ...
Nici n-ai nevoie de valoarea lui x ...
Doar ca trebuie sa-ti dai seama ca "acel x este cand ariile sunt egale" .. deci 2,5 a fiecare.

Gaby · Postby **Gaby** » 26 Mar 2013, 12:41

Fie expresia $E(x)=(\dfrac{x+1}{x-1}+\dfrac{5}{x^2-1}-\dfrac{x+3}{x+1}):\dfrac{3}{4x^2-4}$ , unde $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1;1\}$ .

Aratati ca $E(x)=12$ , pentru orice $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1;1\}$ :geek:

Postby **Admin** » 26 Mar 2013, 15:26

Gaby » 26 Mar 2013, 12:41 wrote:
Fie expresia $E(x)=(\dfrac{x+1}{x-1}+\dfrac{5}{x^2-1}-\dfrac{x+3}{x+1}):\dfrac{3}{4x^2-4}$ , unde $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1;1\}$ .

Aratati ca $E(x)=12$ , pentru orice $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1;1\}$

Se descompune $x^2-1 = (x+1)(x-1)$ ... apoi $4x^2-4 = 4(x+1)(x-1)$ si trebuie adus la acelasi numitor .. .. calcule .. reducerea termenilor asemenea.
Si urmeaza apoi ca mai jos :

$E(x)=(\dfrac{x+1}{x-1} + \dfrac{5}{x^2-1} - \dfrac{x+3}{x+1}) :\dfrac{3}{4x^2-4} =$

$= [\dfrac{(x+1)(x+1)}{(x+1)(x-1)} + \dfrac{5}{(x+1)(x-1)} - \dfrac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x+1)}] \cdot \dfrac{4(x+1)(x-1)}{3} =$

$= [\dfrac{x^2+2x+1}{(x+1)(x-1)} + \dfrac{5}{(x+1)(x-1)} - \dfrac{x^2+2x-3}{(x-1)(x+1)}] \cdot \dfrac{4(x+1)(x-1)}{3} =$

$= \dfrac{x^2+2x+1 + 5 - x^2-2x+3}{(x+1)(x-1)} \cdot \dfrac{4(x+1)(x-1)}{3} =$

$= \dfrac{9}{(x+1)(x-1)} \cdot \dfrac{4(x+1)(x-1)}{3} = 12$ :-bd

Postby **Admin** » 09 Nov 2020, 17:45

manuale.edu.ro