Să se demonstreze relația: $\displaystyle 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ (***)
1). Pasul inițial - Pentru $n=1$ avem egalitatea: $\displaystyle 1 = \frac{1(1+1)}{2}$ care este adevărată.
2). Pasul iterativ (inductiv) - Presupunem că inegalitatea (***) are loc pentru $n$ ...
...și să demonstrăm că atunci are loc și pentru $n+1$
Deci presupunem adevărată relația (***) și să demonstrăm că $\displaystyle 1 + 2 + ... + n + n+1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
Primii $n$ termeni din sumă adunați dau conform relației (***) valoarea $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$. Atunci avem de arătat:
$\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} + n+1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
Aducem la același numitor (2) - apoi renunțăm la el (amplificare cu numitorul comun) și rămâne de arătat că :
$n(n+1) + 2n + 2 = (n+1)(n+2)$ adică $n^2 + 3n +2 = n^2 + 3n + 2$ - ceea ce este evident. QED.
1). Pasul inițial - Pentru $n=1$ avem egalitatea: $\displaystyle 1 = \frac{1(1+1)}{2}$ care este adevărată.
2). Pasul iterativ (inductiv) - Presupunem că inegalitatea (***) are loc pentru $n$ ...
...și să demonstrăm că atunci are loc și pentru $n+1$
Deci presupunem adevărată relația (***) și să demonstrăm că $\displaystyle 1 + 2 + ... + n + n+1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
Primii $n$ termeni din sumă adunați dau conform relației (***) valoarea $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$. Atunci avem de arătat:
$\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} + n+1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
Aducem la același numitor (2) - apoi renunțăm la el (amplificare cu numitorul comun) și rămâne de arătat că :
$n(n+1) + 2n + 2 = (n+1)(n+2)$ adică $n^2 + 3n +2 = n^2 + 3n + 2$ - ceea ce este evident. QED.
|