Partea întreagă și partea fracționară

Postby **Admin** » 11 Aug 2016, 20:09

Partea întreagă a lui x se notează [x]
Partea fracționară a lui x se notează {x}

Partea întreagă a unui număr înseamnă cel mai mare întreg care este mai mic sau egal decât numărul dat.

Partea fracționară a unui număr se definește ca diferența dintre număr și partea sa întreagă.
Altfel spus avem: x = [x] + {x}

[3,52] = 3
[-5,87] = -6

{3,52} = 0,52
{-5,87} = 0,13

Observație: Partea fracționară este un număr aparținând de intervalul [0,1)
Deci partea fracționară este un număr mai mare sau egal decât 0 și strict mai mic decât 1

Postby **Admin** » 11 Aug 2016, 20:11

Dacă $x \in \mathbb{R}$ și $p \in \mathbb{Z}$ atunci $[x+p] = [x]+p$

Demonstrație

Considerăm numărul întreg $n$ ca fiind partea întreagă a lui $x+p$ ...altfel scris $[x+p] = n$.

Știm atunci (din definiția părții întregi) dubla inegalitate: $n \leqslant x+p < n+1$
Scadem $p$ în dubla inegalitate de mai sus și avem:

$n-p \leqslant x < n-p+1$

Dar cum $n-p$ este întreg (diferență de doi întregi) relația indică chiar $n-p = [x]$ ...care implică $n = [x]+p$
QED

Postby **Admin** » 13 Aug 2016, 18:39

În definirea părții întregi și fracționare este suficient să scriem așa:

$x = [x] + \{x\}$ unde $[x] \in \mathbb{Z}$ și $\{x\} \in [0,1)$

Scrierea de mai sus definește complet, fără contradicții, partea întreagă și partea fracționară.

Postby **Admin** » 14 Sep 2020, 18:40

Întrebare:

[x + y] = [x] + [y] ?

Răspuns:

Click button to Show or Hide

Postby **Admin** » 14 Sep 2020, 18:55

Întrebare:

{x + y} = {x} + {y} ?

Răspuns:

Click button to Show or Hide