$h_a + h_b + h_c \geqslant 9r$
Demonstrație: Se știe că $h_a = \dfrac{2S}{a}$ sau $h_a = 2Sf(a)$ unde $f(x) = \dfrac{1}{x}$ pentru $x \in (0,p)$.
Evident $f''(x) > 0$ deci funcția este convexă. Aplicăm inegalitatea lui Jensen și avem:
$f(a) + f(b) + f(c) \geqslant 3f(\dfrac{a+b+c}{3})$ , adică:
$f(a) + f(b) + f(c) \geqslant 3f(\dfrac{2p}{3}) = 3 \cdot \dfrac{3}{2p}$ deci, înmulțind cu $2S$:
$h_a + h_b + h_c \geqslant 2S \cdot \dfrac{9}{2p} = 9r$
|
|
