Numere raționale

Elemente de Matematică și Informatică. Teorie, Probleme. Discuții.
User avatar
Admin
Site Admin
Posts: 768
Joined: 22 Jan 2012, 14:23
Location: România
Contact:

Numere raționale

Postby Admin » 01 Dec 2022, 18:50

Image


Soluție unică: $a=3, b=2$

Prin amplificare cu $\sqrt{3} - \sqrt{b}$ (valoarea nu se schimbă) avem că:

$\sqrt{6} - \sqrt{2b} + \sqrt{3a} - \sqrt{ab} \in \mathbb{Q}$ - (1)

Prin amplificare cu $\sqrt{2} - \sqrt{a}$ avem că:

$\sqrt{6} - \sqrt{3a} - \sqrt{2b} - \sqrt{ab} \in \mathbb{Q}$ - (2)

Prin adunarea și scăderea relațiilor (1) și (2) obținem:

$\sqrt{2b} - \sqrt{3a} \in \mathbb{Q}$ - (3) și

$\sqrt{6} - \sqrt{ab} \in \mathbb{Q}$ - (4)

Dacă $\sqrt{2b} - \sqrt{3a} = 0$ rezultă $2b = 3a$ rezultă $b = 3t$ și $a = 2t$.

Atunci folosim relația (4): $\sqrt{6} - \sqrt{ab} = \sqrt{6} - \sqrt{3t \cdot 2t} = \sqrt{6} (1-t) \in \mathbb{Q}$

Rezultă $t = 1$ deci am avea $a = 2$ și $b = 3$ lucru care nu convine. Atunci $\sqrt{2b} - \sqrt{3a}$ e nenul.

Fie $\sqrt{2b} - \sqrt{3a} = q \in \mathbb{Q}$, nenul. Atunci $\sqrt{2b} = q + \sqrt{3a}$.

Prin ridicare la pătrat avem $\sqrt{3a}$ e rațional. Deci $3a$ e pătrat perfect, deci $a = 3k^2$. Analog $b = 2n^2$.

Presupunem $\dfrac{\sqrt{2} + k \sqrt{3}}{\sqrt{3} + n \sqrt{2}} = r$ rațional. Atunci:

$\sqrt{2} + k\sqrt{3} = r\sqrt{3} + rn \sqrt{2}$ deci $\sqrt{2} (1 - rn) = \sqrt{3} (r - k)$

Obligatoriu $r - k = 0$ deci $r = k$ (deci ambele naturale) și $1 - rn = 0$ deci $r = k = n = 1$

Deci $a = 3, b=1$



Return to “Teorie și Probleme”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 3 guests

mateinfo
UP
cron