într-un triunghi dreptunchic isoscel este $\sqrt{2}$.
b) Dacă într-un triunghi dreptunghic raportul dintre suma
catetelor și ipotenuză este $\sqrt{2}$ atunci triunghiul este și isoscel.
Rezolvare.
a) Presupunem catetele de lungimi $b=c$ și ipotenuza de lungime $a$.
Aplicăm teorema lui Pitagora:
$b^2 + b^2 = a^2$ deci $2b^2 = a^2$. Extragem radicalul: $\sqrt{2}\cdot b=a$
Deci $a = b \sqrt{2}$. Iar raportul $\dfrac{2b}{a} = \dfrac{2b}{b\sqrt{2}}= \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
b) Vom folosi egalitatea binecunoscută $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$
(Ea se obține ușor din $(x+y)^2 = (x+y)(x+y))$
Avem $\dfrac{b+c}{a} = \sqrt{2}$. Ridicăm la pătrat: $\dfrac{(b+c)^2}{a^2} = 2$
Aducem la același numitor: $(b+c)^2 = 2a^2$. Rezultă: $(b+c)^2 = a^2 + a^2$
Deci: $b^2+2bc+c^2 = a^2 + a^2$. Conform teoremei lui Pitagora: $b^2+c^2 = a^2$
Deci $2bc = a^2$, aplicăm din nou Pitagora, deci $2bc=b^2+c^2$,
trecem $2bc$ în membrul drept și avem $0 = (b-c)^2$ deci $b-c = 0$, adică $b=c$.
|
|
